Kamis, 25 September 2008

Operasi Matrik: Perkalian, Invers dan Transpose

Matrik Perkalian

Misal persamaan berikut: (hubungan X1, X2, X3, X4 dengan Y1, Y2, Y3, Y4)

X1 = Y1 + 2Y2 + 3Y3
X2 = 4Y1 + 5Y2 + 6Y3
X3 = 7Y1 + 8Y2 + 9Y3
X4 = 10Y1 + 11Y2 + 12Y3

Misal ada hungan persamaan dengan variabel Y dan Z sebagai berikut:

Y1 = 13Z1 + 14Z1
Y2 = 15Z1 + 16Z2
Y3 = 17Z1 + 18Z2


Maka dapat nilai X dinyatakan sebagai berikut:

X1 = 9Z1 + 100Z2
X2 = 229Z1 + 244Z2
X3 = 364Z1 + 388Z2
X4 = 499Z1 + 532Z2


Dari ketiga kelompok persamaan diatas, dapat dituliskan secara matrik sebagai berikut

bagian 1: [X]mxn = [A]mxl [Y]lxn
bagian 2: [Y]lxn = [B]lxp [Z]pxn
bagian 3: [X]mxn = [C]mxp [Z]pxn

dimana
mxn = ordo matrik m baris kali n kolom
m=jumlah baris, n=jumlah kolom, l=jumlah kolom atau jumlah baris matrik ybs.
[A] = matrik koefisien Y, yang berhubungan dengan X
[B] = matrik koefisien Z, yang berhubungan dengan Y
[C] = matrik koefisien Z, yang berhubungan dengan X

Dapat dibangun suatu hubungan matrik sbb:

[X] = [A] [Y] atau [X] = [A] {[B] [Z]} = [A] [B] [Z] sedangkan [X] = [C] [Z]
berarti [A] [B] = [C]

Matrik Satuan (Unit Matrix), [I]
Matrik satuan adalah matrik bujur sangkar yang semua elemennya memiliki nilai nol keculai elemen diagonal dari kiri-atas ke kanan-bawah bernilai = 1.

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

jadi [X] = [A] [Y] = [A] [A'][X] dapat dilihat hubungan [X] dengan [X] tentunya berarti [A] [A'] adalah matrik satuan [A] [A'] = [I], akhirnya boleh dituliskan [X] = [I] [X]

Kesimpulan: Suatu matrik dikalikan dengan inversnya akan menghasilkan matrik satuan.
Masih gak percaya silahkan buktikan sendiri!!! (pasti benar)

dimana
[A'] = invers matrik [A]

INVERSI MATRIK
Untuk melakukan invers matrik dapat dipecahkan dengan banyak cara diantaranya :
  1. The Crout Method
  2. Forward Elimination and Back Substitution
  3. The Gauss-Jordan Method

Untuk detailnya baca buku Matematik metode matrik atau di buku literatur Analisa Struktur Metode Matrik.

TRANSPOSE MATRIK

Transpos matrik adalah merubah susunan elemen matrik, yaitu dari elemen awal di posisi baris ke i dan kolom ke j, diletakkan pada posisi baris ke j dan kolom ke i.

[A] transpose, artinya [A] mxn menjadi [A]nxm berikut juga elemen-elemennya ikut dipindah, dari posisi ij menjadi posisi ji.

Tidak ada komentar: